为什么要考虑非惯性力？科里奥利力和离心力有什么不同？两者在地球的大尺度上具体有什么影响？傅科摆为什么会进动？其进动周期是什么？

9月28日12时，《张朝阳的物理课》第二百六十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，延续上一次的课程，带领大家进一步梳理了离心力、科里奥利力的特点和影响，分析了傅科摆为什么会发生进动，并利用上节课得到的科里奥利力的具体形式，使用简洁的方法计算了傅科摆的进动周期公式。

离心力、科里奥利力的作用表现

课程开始，张朝阳分享了最近课程关注科里奥利力的原因：洋流。在跨海游泳时，就能明显感受到洋流的存在，而洋流本身就会受到科里奥利力的影响。在考虑非惯性中的力学问题时，要考虑额外的物理效应，而这种效应可以被非惯性力很好地描述。

以地球为例，地球本身在自转，人们在处理问题时为了方便起见，往往会采用地面坐标系而非宇宙坐标系，此时就需要考虑两种惯性力——科里奥利力和离心力。两者各有特色：一般而言常见物体比如水流由于速度不大，受到的离心力要比科里奥利力大一个数量级，但是离心力本身与物体运动的速度无关；而科里奥利力大小和方向均受运动速度影响，当物体运动速度很大时数量级也将随之增大。

离心力直接源于参考系的旋转。在以角速度Ω自转的地球上，在任何纬度（除了南北极点）的物体都会因为跟随地球旋转而受到离心力。可以将这种力形象地理解为“向外甩的力”，其方向将垂直于自转轴，因此可以有向南的分量（以北半球为例）。由于地球自转并不快，这个力的大小可以忽略。经过数十亿年的演化，地球表面已经在这个离心力的作用下演化至平衡，表面整体上也成为了离心力与地球自身引力的等势面，使得地球形状脱离球形而更接近于一个椭球型。

科里奥利力的大小正比于速度的大小，方向与速度垂直。对于中国的河流，由于中国地势西高东低，很多河流自西向东流动，水流将受到向南的科里奥利力，则南岸会受到更多的冲刷。在海洋中，受大气、温度分布等多方面的影响，海水也在不断流动，加上科里奥利力的影响，这种流动在大尺度上形成较为规律的洋流。张朝阳还分享了在南澳岛时游泳横渡海湾的经历：洋流的流速可达两公里以上每小时，而泳速大概也在两公里每小时，游泳时可以显著地感受到洋流的影响。

傅科摆的进动

非惯性力的影响是多方面的，傅科摆的进动即是其中之一。傅科（Foucalt）为法国物理学家，在1851进行了一次成功的单摆进动实验以直接显示的地球的自转，傅科摆也由此得名。假设地球的自转角速度为Ω，下面将通过具体的计算给出傅科摆进动角速度的表达式。

傅科摆首先是一个单摆，在摆线很长而振动角度很小时，可以将下方中重物的运动看做沿直线方向的振动，可以写出运动方程

也即

这正是简谐振动的运动方程。将振幅记做A，其解为

然而如果具体进行实验则会发现，单摆的振动并不严格保持在一个平面内，其摆面随时间在缓慢地转动，这种转动被称作进动。这正是选取了地面这个非惯性系导致的。进一步地，是科里奥利力还是离心力导致了这个现象呢？细想就会发现，应该是科里奥利力而非离心力，前者依赖于速度，而后者基本是个常量所以无法带动摆进行旋转。

将单摆的进动角速度记做ωp，如果要严格地求解，需要考虑地球自转和摆振动之间的耦合，将会陷入复杂的境地，实际上，由于摆振动的时间尺度远小于地球自转的时间尺度，完全可以将两者分离开来，而只考虑振动的摆受到科里奥利力的作用。本节课中张朝阳带领大家以简洁的方式抓住其中的物理图像，从而给出这个角速度与地球自转角速度Ω之间的关系。

地球表面运动的物体受到的科里奥利力，如上一节课的推导，可以表达为

如果不受科里奥利力的影响，摆将在一条直线上振动，角动量为0。有了科里奥利力之后，摆将受到一个力矩的作用从而获得一个角动量。根据扩展的牛顿定律，力矩等于角动量在单位时间内的变化量，即

摆在振动时，每次往返其摆面都将因为科里奥利力而在角度上产生偏移。为了更清晰地考虑这种偏移而先避免振动本身的干扰，可以将四分之一个振动周期看做一个整体，考虑这段时间内角动量的积累

摆受到的科里奥利力有多大呢？可以看到，如果摆在北纬λ自西向东运动，根据科里奥利力的计算公式，其方向将沿着与自转轴的垂直连线方向向外，和离心力的方向相同。就目前关心的问题，只需要考虑其投影到地球表面的那部分，则方向沿正南方，其大小为

可以进一步说明在切面内无论沿着任何方向运动，物体受到的科里奥利力在面内的分量大小都与东西运动时相同。首先，东西方向运动时由上已经计算得出。其次，南北方向运动时，速度矢量和角动量成λ或者π-λ的夹角，根据右手法则，其方向将在切面内，大小与东西运动时相同。在一般情形，总可以先将速度分解为南北方向和东西方向的叠加，叉乘和投影操作都满足线性性，将两个分量对应的科里奥利力再相加，最终总的科里奥利力大小与向东运动时相同，且方向与速度方向垂直。

有了科里奥利力的大小和方向，可以得到力矩方向沿地球径向向内，大小为

其中v'为简谐振动的速度，表达为

则力矩的积累（可以称之为角冲量）为

进行变量替换

则原积分为

注意质点角动量的定义

对于在运动到最大值即A处的摆，立即可以得到其角速度为

至此，利用角动量定理给出了傅科摆进动的一个简明推导。如果放在赤道上，则不会进动。如果是在南北极，则进动角速度等于地球自转角速度。其他地方也可以据此可以进行一个大致的估算，北纬40度附近取sin(λ) 为 0.6，则傅科摆的进动角速度大概是地球角速度的0.6倍，需要一天多的时间摆面才可以完整地旋转一周。

更一般地，进一步可以证明单摆的角速度不仅在四分之一周期处为Ωsin(λ)，而一直保持为这个值。将以上推导中的积分上限换为t'，则有

另一方面根据定义

关于时间的部分可以约去，从而得到进动角速度为Ωsin(λ)。

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